Я бы сказала так, попробуйте. По поведению кошки поймете понравились ли ей эти прогулки, либо в дальнейшем не стоит их проводить. У меня кот тоже полностью домашний, хотя и подобран был котенком с улицы. Я пыталась с ним прогуливаться, выносила погулять, ему такие прогулки явно не были по душе — прижимался к земле, оглядывался и через несколько секунд ползком, ползком и к своему подъезду, перед ступеньками выпрямлялся и уже рысцой в сам подъезд и к квартире. Как он определял, что именно это его подъезд и его квартира, понятия не имею, но факт остается фактом. Таких попыток было несколько, тоже хотела, чтобы по земле как говорится походил, но ему такие вылазки явно пришлись не по душе, потом эту затею я естественно оставила.
Вот и Вам следует проверить, как отнесется Ваша кошка к таким прогулкам.Во дворе вижу иногда, что гуляют с домашними кошками на поводке, да и просто так выносят и дают ей погулять на травке. Никакие дворовые коты при этом к кошкам не пристают, они же не под каждым кустом сидят и ждут домашнюю кошечку, так что в этом смысле опасаться драки или заразы не стоит.